自然に潜む対称性
日本には、春の到来を告げるものの一つに桜があります。桜の持つ色やその散りゆく姿は、我々日本人に感動を与え、桜が満開の中で行われる卒業式や入学式での印象は、誰もの心の中に深く残っているものです。実は、この桜には、我々科学者にとって、もう一つの美しさがあります。皆さまは、桜、特に馴れ親しんだソメイヨシノの花弁を見て何か気づかれることはないでしょうか。それは、花弁が5枚から成るということなのです。実は桜以外、道端に咲いている花を見てみても、5枚の花弁を持つ花に多く出会うことができます。当たり前のことのように思われるかも知れませんが、これが非常に興味深いことなのです。我々対称性を研究するものにとって、5枚の花弁は5回対称性という幾何学的な対称性を想起させます。ここで5回対称性について簡単に説明しますと、中心となる点を持つ図形、例えば正五角形を重心の周りに360°/5 = 72°回転しても図形が重なることをいいます。なぜかわかりませんが、自然はこの5回対称性を好むようなのです。
5回対称性と黄金比
正五角形は高校で習う数学を用いて、その不思議さを感じ取ることが出来ます。まず、正五角形の各頂点を結んで、星を作ることを考えましょう。得られる星は、皆さんも一度は書いたことがある五芒星と呼ばれるものです。当然、この五芒星も5回対称性を持ちます。次に、正五角形の頂点を結ぶ線分を対角線とし、対角線の交点を考えると、一つの対角線には二つの交点が存在します。ここで興味深い点は、一つの交点によって分けられた対角線の長さの比が、必ず1：τの黄金比になっていることです。黄金数τは、τ=((1+√5))⁄2の無理数で与えられる数学定数の一つで、τ^2-τ-1=0の解、またτ=2 cos⁡(36°)でもあります。実は、θ=36°とするとcos⁡〖(5θ)=cos⁡〖(180°)=-1〗 〗から、加法定理を用いて導くことができます。結局、五芒星は1：τの黄金比によって特徴付けられた星ということになります。ご存知の方も多いと思いますが、黄金比は、ギリシャのパルテノン神殿やミロのビーナス等の芸術作品にも見られ、人の持つ美的感性に関係しているとも言われています。また、DNAの二重らせん構造の中に、その存在を見て取ることができるという事実は、実に興味深いものです。さらに、もう一言述べさせていただくと、黄金比に加え、黄金角と呼ばれるものも存在します。(360°)⁄((1+τ) )≈137.5°で与えられる角度ですが、これも自然界においてしばしばお目にかかることができます。葉のつき方、まつぼっくりや巻貝での巻き方等に関係しているようなので、興味のある方は調べてみてはいかがでしょうか。
準結晶と5回対称性
5角形のタイルで平面を埋め尽くせないという事実は、昔からよく知られていたようです。皆さまも厚紙で5角形を作り、平面に並べてみて下さい。必ず隙間ができてしまい、埋め尽くせないことを確認することができます。このため、固体物理の分野では5回対称性、すなわち5回軸が存在しないということは、どの教科書にも書かれている常識でした。ここで5回軸とは、固体の持つ3次元的な原子配列を、ある軸の周りに72°回転しても変わらない時、この軸のことを5回軸と言います。すなわち、上述した平面の場合の3次元版です。このような状況の中、1984年にシュヒトマンらはAl-Mn合金において、現在20面体準結晶と呼ばれる状態を発見しました。この発見は、5回軸を含む回転軸の存在を示すもので、驚きを持って受け取られました。2011年のノーベル化学賞に輝きましたが、受賞までに27年を要したという事実は、学問の常識を変えた発見に対して正当な評価が得られるまでには、多くの年月が必要なことを物語っています。最近の研究から、20面体準結晶の原子配列は、複数の殻から成る巨大な原子クラスターを含むことが明らかとなっています。非常に興味深い点は、各殻が基本的に20面体対称性を持つこと、また殻の中に正20面体や正12面体が存在することです。これら二つの多面体はプラトンの正多面体と呼ばれるもので、同じ対称性を持ち、5回軸が6本も存在します。実は、正20多面体と正12多面体には60個の対称操作が存在し、正多面体の中で最も高い対称性を持っています。このため、ある意味、プラトンが正12多面体を宇宙の全体像と捉えていたことにも納得がいきます。自然の様々な所に見られる5回対称性、これからも目を離すことができません。